Løs 6x^2-42x+36=0

$$6 x ^ { 2 } - 42 x + 36 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 6.

$$x^{2}-7x+6=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx+6. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-6 b=-1$$

Omskriv x^{2}-7x+6 som \left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right)$$

Udx i den første og -1 i den anden gruppe.

$$x\left(x-6\right)-\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(x-1\right)$$

Løs x-6=0 og x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}-42x+36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, -42 med b og 36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 6\times 36}}{2\times 6}$$

Kvadrér -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 6\times 36}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-24\times 36}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange 36.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2\times 6}$$

Adder 1764 til -864.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 900.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±30}{2\times 6}$$

Det modsatte af -42 er 42.

$$x=\frac{42±30}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{42±30}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{42±30}{12} når ± er plus. Adder 42 til 30.

$$x=\frac{72}{12}$$

Divider 72 med 12.

$$x=6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{42±30}{12} når ± er minus. Subtraher 30 fra 42.

$$x=\frac{12}{12}$$

Divider 12 med 12.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6 x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}-42x+36=0$$

Subtraher 36 fra begge sider af ligningen.

$$6x^{2}-42x+36-36=-36$$

Hvis 36 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}-42x=-36$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}-42x}{6}=-\frac{36}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{6}\right)x=-\frac{36}{6}$$

Divider -42 med 6.

$$x^{2}-7x=-\frac{36}{6}$$

Divider -36 med 6.

$$x^{2}-7x=-6$$

Divider -7, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-6+\frac{49}{4}$$

Adder -6 til \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{7}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=1$$