Løs 6x^2+5x=6

$$6 x ^ { 2 } + 5 x = 6$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 6 fra begge sider.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-6. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Løsningen er det par, der får summen 5.

$$a=-4 b=9$$

Omskriv 6x^{2}+5x-6 som \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Løs 3x-2=0 og 2x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}+5x=6$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$6x^{2}+5x-6=6-6$$

Hvis 6 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 5 med b og -6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Adder 25 til 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{-5±13}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±13}{12} når ± er plus. Adder -5 til 13.

$$x=\frac{8}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±13}{12} når ± er minus. Subtraher 13 fra -5.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}+5x=6$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Divider 6 med 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=1$$

Divider \frac{5}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{12}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Adder 1 til \frac{25}{144}.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Subtraher \frac{5}{12} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$