Løs 6x^2+4x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +4x-10=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -15.

$$-1,15 -3,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Løsningen er det par, der får summen 2.

$$a=-3 b=5$$

Omskriv 3x^{2}+2x-5 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right)$$

Ud3x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Løs x-1=0 og 3x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}+4x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 4 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 6}$$

Adder 16 til 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{-4±16}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±16}{12} når ± er plus. Adder -4 til 16.

$$x=\frac{12}{12}$$

Divider 12 med 12.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±16}{12} når ± er minus. Subtraher 16 fra -4.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-20}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}+4x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}+4x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}+4x=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$6x^{2}+4x=10$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}+4x}{6}=\frac{10}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{4}{6}x=\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Divider \frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Føj \frac{5}{3} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Subtraher \frac{1}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$