Løs 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 6x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Løsningen er det par, der får summen 19.

$$a=-2 b=21$$

Omskriv 6x^{2}+19x-7 som \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Ud2x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Løs 3x-1=0 og 2x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 6 med a, 19 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrér 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -4 gange 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicer -24 gange -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Adder 361 til 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multiplicer 2 gange 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-19±23}{12} når ± er plus. Adder -19 til 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-19±23}{12} når ± er minus. Subtraher 23 fra -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-42}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Divider begge sider med 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Division med 6 annullerer multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Divider \frac{19}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{19}{12}. Adder derefter kvadratet af \frac{19}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{19}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Føj \frac{7}{6} til \frac{361}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Subtraher \frac{19}{12} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$