Løs 56-60b+4b^2=0

$$56-60b+4 { b }^{ 2 } = 0$$

Løs for b

$$b=1$$

$$b=14$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 4.

$$14-15b+b^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$b^{2}-15b+14=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som b^{2}+ab+bb+14. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-15 ab=1\times 14=14$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Løsningen er det par, der får summen -15.

$$a=-14 b=-1$$

Omskriv b^{2}-15b+14 som \left(b^{2}-14b\right)+\left(-b+14\right).

$$\left(b^{2}-14b\right)+\left(-b+14\right)$$

Udb i den første og -1 i den anden gruppe.

$$b\left(b-14\right)-\left(b-14\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet b-14 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(b-14\right)\left(b-1\right)$$

Løs b-14=0 og b-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$b=14 b=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4b^{2}-60b+56=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -60 med b og 56 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 4\times 56}}{2\times 4}$$

Kvadrér -60.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 4\times 56}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-16\times 56}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 56.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-896}}{2\times 4}$$

Adder 3600 til -896.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 2704.

$$b=\frac{-\left(-60\right)±52}{2\times 4}$$

Det modsatte af -60 er 60.

$$b=\frac{60±52}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$b=\frac{60±52}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{60±52}{8} når ± er plus. Adder 60 til 52.

$$b=\frac{112}{8}$$

Divider 112 med 8.

$$b=14$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{60±52}{8} når ± er minus. Subtraher 52 fra 60.

$$b=\frac{8}{8}$$

Divider 8 med 8.

$$b=1$$

Ligningen er nu løst.

$$b=14 b=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4b^{2}-60b+56=0$$

Subtraher 56 fra begge sider af ligningen.

$$4b^{2}-60b+56-56=-56$$

Hvis 56 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4b^{2}-60b=-56$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4b^{2}-60b}{4}=-\frac{56}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$b^{2}+\left(-\frac{60}{4}\right)b=-\frac{56}{4}$$

Divider -60 med 4.

$$b^{2}-15b=-\frac{56}{4}$$

Divider -56 med 4.

$$b^{2}-15b=-14$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$b^{2}-15b+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$b^{2}-15b+\frac{225}{4}=-14+\frac{225}{4}$$

Adder -14 til \frac{225}{4}.

$$b^{2}-15b+\frac{225}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor b^{2}-15b+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(b-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkling.

$$b-\frac{15}{2}=\frac{13}{2} b-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$b=14 b=1$$