Løs 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 56x^{2}+ax+bx+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Løsningen er det par, der får summen -30.

$$a=-28 b=-2$$

Omskriv 56x^{2}-30x+1 som \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Ud28x i den første og -1 i den anden gruppe.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Løs 2x-1=0 og 28x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 56 med a, -30 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kvadrér -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Multiplicer -4 gange 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Adder 900 til -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Det modsatte af -30 er 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Multiplicer 2 gange 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{30±26}{112} når ± er plus. Adder 30 til 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Reducer fraktionen \frac{56}{112} til de laveste led ved at udtrække og annullere 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{30±26}{112} når ± er minus. Subtraher 26 fra 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Reducer fraktionen \frac{4}{112} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Divider begge sider med 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Division med 56 annullerer multiplikationen med 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{56} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Divider -\frac{15}{28}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{56}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{56} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{56} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Føj -\frac{1}{56} til \frac{225}{3136} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Adder \frac{15}{56} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$