Løs 54x^2-141x+90

$$54 { x }^{ 2 } -141x+90$$

Faktoriser

$$3\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Løsningsvejledning

Udfaktoriser 3.

$$3\left(18x^{2}-47x+30\right)$$

Overvej 18x^{2}-47x+30. Faktoriser udtrykket ved gruppering. Først skal udtrykket omskrives som 18x^{2}+ax+bx+30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-47 ab=18\times 30=540$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 540.

$$-1,-540 -2,-270 -3,-180 -4,-135 -5,-108 -6,-90 -9,-60 -10,-54 -12,-45 -15,-36 -18,-30 -20,-27$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-540=-541 -2-270=-272 -3-180=-183 -4-135=-139 -5-108=-113 -6-90=-96 -9-60=-69 -10-54=-64 -12-45=-57 -15-36=-51 -18-30=-48 -20-27=-47$$

Løsningen er det par, der får summen -47.

$$a=-27 b=-20$$

Omskriv 18x^{2}-47x+30 som \left(18x^{2}-27x\right)+\left(-20x+30\right).

$$\left(18x^{2}-27x\right)+\left(-20x+30\right)$$

Ud9x i den første og -10 i den anden gruppe.

$$9x\left(2x-3\right)-10\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Omskriv hele det faktoriserede udtryk.

$$3\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$54x^{2}-141x+90=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{\left(-141\right)^{2}-4\times 54\times 90}}{2\times 54}$$

Kvadrér -141.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{19881-4\times 54\times 90}}{2\times 54}$$

Multiplicer -4 gange 54.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{19881-216\times 90}}{2\times 54}$$

Multiplicer -216 gange 90.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{19881-19440}}{2\times 54}$$

Adder 19881 til -19440.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±\sqrt{441}}{2\times 54}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-\left(-141\right)±21}{2\times 54}$$

Det modsatte af -141 er 141.

$$x=\frac{141±21}{2\times 54}$$

Multiplicer 2 gange 54.

$$x=\frac{141±21}{108}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{141±21}{108} når ± er plus. Adder 141 til 21.

$$x=\frac{162}{108}$$

Reducer fraktionen \frac{162}{108} til de laveste led ved at udtrække og annullere 54.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{141±21}{108} når ± er minus. Subtraher 21 fra 141.

$$x=\frac{120}{108}$$

Reducer fraktionen \frac{120}{108} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$x=\frac{10}{9}$$

Faktoriser det oprindelige udtryk ved hjælp af ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstat \frac{3}{2} med x_{1} og \frac{10}{9} med x_{2}.

$$54x^{2}-141x+90=54\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Subtraher \frac{3}{2} fra x ved at finde en fællesnævner og subtrahere tællerne. Reducer derefter brøken til de lavest mulige led, hvis det er muligt.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{10}{9}\right)$$

Subtraher \frac{10}{9} fra x ved at finde en fællesnævner og subtrahere tællerne. Reducer derefter brøken til de lavest mulige led, hvis det er muligt.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{9x-10}{9}$$

Multiplicer \frac{2x-3}{2} gange \frac{9x-10}{9} ved at multiplicere tæller gange tæller og nævner gange nævner. Reducer derefter brøken til de laveste mulige led, hvis det er muligt.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)}{2\times 9}$$

Multiplicer 2 gange 9.

$$54x^{2}-141x+90=54\times \frac{\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)}{18}$$

Ophæv den største fælles faktor 18 i 54 og 18.

$$54x^{2}-141x+90=3\left(2x-3\right)\left(9x-10\right)$$

Evaluer

$$54x^{2}-141x+90$$