Løs 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -5 med b og -17 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Adder 25 til 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Divider 5+\sqrt{365} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{365} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Divider 5-\sqrt{365} med 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Adder 17 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Hvis -17 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Subtraher -17 fra 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Divider -5 med 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{17}{5} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$