Løs 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=-5 b=1$$

Omskriv 5x^{2}-4x-1 som \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser 5x i 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Løs x-1=0 og 5x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -4 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Adder 16 til 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±6}{10} når ± er plus. Adder 4 til 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Divider 10 med 10.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±6}{10} når ± er minus. Subtraher 6 fra 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Divider -\frac{4}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Føj \frac{1}{5} til \frac{4}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Adder \frac{2}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$