Løs 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -2.

$$a=-10 b=8$$

Omskriv 5x^{2}-2x-16 som \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Ud5x i den første og 8 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Løs x-2=0 og 5x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -2 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Adder 4 til 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±18}{10} når ± er plus. Adder 2 til 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Divider 20 med 10.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±18}{10} når ± er minus. Subtraher 18 fra 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-16}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Adder 16 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Hvis -16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtraher -16 fra 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Divider -\frac{2}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Føj \frac{16}{5} til \frac{1}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Adder \frac{1}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$