Løs 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -2 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

Adder 4 til -20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±4i}{10} når ± er plus. Adder 2 til 4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

Divider 2+4i med 10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±4i}{10} når ± er minus. Subtraher 4i fra 2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

Divider 2-4i med 10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-2x=-1$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Divider -\frac{2}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Føj -\frac{1}{5} til \frac{1}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Adder \frac{1}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$