Løs 5x^2-10x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 10 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1\approx 2,673320053$$

$$x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1\approx -0,673320053$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-10x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -10 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -9.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+180}}{2\times 5}$$

Adder 100 til 180.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{280}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 280.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{70}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{70}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10} når ± er plus. Adder 10 til 2\sqrt{70}.

$$x=\frac{2\sqrt{70}+10}{10}$$

Divider 10+2\sqrt{70} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±2\sqrt{70}}{10} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{70} fra 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{70}}{10}$$

Divider 10-2\sqrt{70} med 10.

$$x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-10x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$5x^{2}-10x=9$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{9}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{9}{5}$$

Divider -10 med 5.

$$x^{2}-2x=\frac{9}{5}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{5}+1$$

Adder \frac{9}{5} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{14}{5}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{14}{5}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{5}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{\sqrt{70}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{70}}{5}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{70}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{70}}{5}+1$$