Løs 5x^2+7x+19=0

$$5 x ^ { 2 } + 7 x + 19 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}\approx -0,7+1,81934054i$$

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}\approx -0,7-1,81934054i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}+7x+19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, 7 med b og 19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 19}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange 19.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-380}}{2\times 5}$$

Adder 49 til -380.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-331}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af -331.

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10} når ± er plus. Adder -7 til i\sqrt{331}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{331} fra -7.

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}+7x+19=0$$

Subtraher 19 fra begge sider af ligningen.

$$5x^{2}+7x+19-19=-19$$

Hvis 19 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}+7x=-19$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{19}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{19}{5}$$

Divider \frac{7}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{10}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{19}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{19}{5}+\frac{49}{100}$$

Føj -\frac{19}{5} til \frac{49}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{331}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{331}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{331}{100}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{331}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{331}i}{10}$$

Subtraher \frac{7}{10} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$