Løs 5-sqrt{4x-3}=x

$$5 - \sqrt { 4 x - 3 } = x$$

Løs for x

$$x=7-\sqrt{21}\approx 2,417424305$$

Løsningsvejledning

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$-\sqrt{4x-3}=x-5$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-\sqrt{4x-3}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Udvid \left(-\sqrt{4x-3}\right)^{2}.

$$\left(-1\right)^{2}\left(\sqrt{4x-3}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Beregn -1 til potensen af 2, og få 1.

$$1\left(\sqrt{4x-3}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{4x-3} til potensen af 2, og få 4x-3.

$$1\left(4x-3\right)=\left(x-5\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 1 med 4x-3.

$$4x-3=\left(x-5\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-5\right)^{2}.

$$4x-3=x^{2}-10x+25$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$4x-3-x^{2}=-10x+25$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$4x-3-x^{2}+10x=25$$

Kombiner 4x og 10x for at få 14x.

$$14x-3-x^{2}=25$$

Subtraher 25 fra begge sider.

$$14x-3-x^{2}-25=0$$

Subtraher 25 fra -3 for at få -28.

$$14x-28-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+14x-28=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 14 med b og -28 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-28\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-28\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-28\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -28.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-112}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 196 til -112.

$$x=\frac{-14±\sqrt{84}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 84.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{21}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±2\sqrt{21}}{-2} når ± er plus. Adder -14 til 2\sqrt{21}.

$$x=\frac{2\sqrt{21}-14}{-2}$$

Divider -14+2\sqrt{21} med -2.

$$x=7-\sqrt{21}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±2\sqrt{21}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{21} fra -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}-14}{-2}$$

Divider -14-2\sqrt{21} med -2.

$$x=\sqrt{21}+7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=7-\sqrt{21} x=\sqrt{21}+7$$

Substituer x med 7-\sqrt{21} i ligningen 5-\sqrt{4x-3}=x.

$$5-\sqrt{4\left(7-\sqrt{21}\right)-3}=7-\sqrt{21}$$

Forenkling. Værdien x=7-\sqrt{21} opfylder ligningen.

$$7-21^{\frac{1}{2}}=7-21^{\frac{1}{2}}$$

Substituer x med \sqrt{21}+7 i ligningen 5-\sqrt{4x-3}=x.

$$5-\sqrt{4\left(\sqrt{21}+7\right)-3}=\sqrt{21}+7$$

Forenkling. Værdien x=\sqrt{21}+7 opfylder ikke ligningen, fordi venstre og højre side har modsat fortegn.

$$3-21^{\frac{1}{2}}=21^{\frac{1}{2}}+7$$

Ligningen -\sqrt{4x-3}=x-5 har en unik løsning.

$$x=7-\sqrt{21}$$