Løs 5(x+2)^2=(7x+3)(x+2)

$$5 ( x + 2 ) ^ { 2 } = ( 7 x + 3 ) ( x + 2 )$$

Løs for x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$x=-2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7x+3 med x+2, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtraher 7x^{2} fra begge sider.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Kombiner 5x^{2} og -7x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtraher 17x fra begge sider.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Kombiner 20x og -17x for at få 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Subtraher 6 fra 20 for at få 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx+14. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=-2\times 14=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=7 b=-4$$

Omskriv -2x^{2}+3x+14 som \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Ud-x i den første og -2 i den anden gruppe.

$$-x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Løs 2x-7=0 og -x-2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7x+3 med x+2, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtraher 7x^{2} fra begge sider.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Kombiner 5x^{2} og -7x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtraher 17x fra begge sider.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Kombiner 20x og -17x for at få 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtraher 6 fra begge sider.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Subtraher 6 fra 20 for at få 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 3 med b og 14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 9 til 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-3±11}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±11}{-4} når ± er plus. Adder -3 til 11.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Divider 8 med -4.

$$x=-2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±11}{-4} når ± er minus. Subtraher 11 fra -3.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-2 x=\frac{7}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 5 med x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 7x+3 med x+2, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Subtraher 7x^{2} fra begge sider.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Kombiner 5x^{2} og -7x^{2} for at få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Subtraher 17x fra begge sider.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Kombiner 20x og -17x for at få 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Subtraher 20 fra begge sider.

$$-2x^{2}+3x=6-20$$

Subtraher 20 fra 6 for at få -14.

$$-2x^{2}+3x=-14$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{14}{-2}$$

Divider 3 med -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{14}{-2}$$

Divider -14 med -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Adder 7 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$