Løs 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 5x^{2}+ax+bx-2184. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -1.

$$a=-105 b=104$$

Omskriv 5x^{2}-x-2184 som \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Ud5x i den første og 104 i den anden gruppe.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-21 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Løs x-21=0 og 5x+104=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -1 med b og -2184 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Adder 1 til 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±209}{10} når ± er plus. Adder 1 til 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Divider 210 med 10.

$$x=21$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±209}{10} når ± er minus. Subtraher 209 fra 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-208}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Adder 2184 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Hvis -2184 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Subtraher -2184 fra 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Divider -\frac{1}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Føj \frac{2184}{5} til \frac{1}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Adder \frac{1}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$