Løs 5x^2-8x(2+14x)=108-x

$$5 { x }^{ 2 } -8x(2+14x)=108-x$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}\approx -0,070093458-1,0022139i$$

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}\approx -0,070093458+1,0022139i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 108 fra begge sider.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108=-x$$

Tilføj x på begge sider.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108+x=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -8x med 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}-108+x=0$$

Kombiner 5x^{2} og -112x^{2} for at få -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x-108+x=0$$

Kombiner -16x og x for at få -15x.

$$-107x^{2}-15x-108=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -107 med a, -15 med b og -108 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Multiplicer -4 gange -107.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+428\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Multiplicer 428 gange -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-46224}}{2\left(-107\right)}$$

Adder 225 til -46224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-45999}}{2\left(-107\right)}$$

Tag kvadratroden af -45999.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Multiplicer 2 gange -107.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} når ± er plus. Adder 15 til 3i\sqrt{5111}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Divider 15+3i\sqrt{5111} med -214.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{5111} fra 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i+15}{-214}$$

Divider 15-3i\sqrt{5111} med -214.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214} x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Tilføj x på begge sider.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)+x=108$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -8x med 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}+x=108$$

Kombiner 5x^{2} og -112x^{2} for at få -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x+x=108$$

Kombiner -16x og x for at få -15x.

$$-107x^{2}-15x=108$$

Divider begge sider med -107.

$$\frac{-107x^{2}-15x}{-107}=\frac{108}{-107}$$

Division med -107 annullerer multiplikationen med -107.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-107}\right)x=\frac{108}{-107}$$

Divider -15 med -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=\frac{108}{-107}$$

Divider 108 med -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=-\frac{108}{107}$$

Divider \frac{15}{107}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{15}{214}. Adder derefter kvadratet af \frac{15}{214} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{108}{107}+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{15}{214} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{108}{107}+\frac{225}{45796}$$

Føj -\frac{108}{107} til \frac{225}{45796} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{45999}{45796}$$

Faktor x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{45999}{45796}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{45999}{45796}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{15}{214}=\frac{3\sqrt{5111}i}{214} x+\frac{15}{214}=-\frac{3\sqrt{5111}i}{214}$$

Subtraher \frac{15}{214} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214} x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$