Løs 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 5 med a, -12 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -4 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicer -20 gange -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Adder 144 til 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Tag kvadratroden af 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Multiplicer 2 gange 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} når ± er plus. Adder 12 til 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Divider 12+2\sqrt{71} med 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{71} fra 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Divider 12-2\sqrt{71} med 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Divider begge sider med 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Division med 5 annullerer multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Divider -\frac{12}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{6}{5}. Adder derefter kvadratet af -\frac{6}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{6}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Føj \frac{7}{5} til \frac{36}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Adder \frac{6}{5} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$