Løs 49x^2+2x-15=0

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

Løs for x

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0,533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0,574067754$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 49 med a, 2 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Multiplicer -4 gange 49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Multiplicer -196 gange -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

Adder 4 til 2940.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

Tag kvadratroden af 2944.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

Multiplicer 2 gange 49.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98} når ± er plus. Adder -2 til 8\sqrt{46}.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

Divider -2+8\sqrt{46} med 98.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{46} fra -2.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

Divider -2-8\sqrt{46} med 98.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Hvis -15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Subtraher -15 fra 0.

$$49x^{2}+2x=15$$

Divider begge sider med 49.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

Division med 49 annullerer multiplikationen med 49.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

Divider \frac{2}{49}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{49}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{49} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{49} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

Føj \frac{15}{49} til \frac{1}{2401} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

Subtraher \frac{1}{49} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$