Løs 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -8.

$$a=-10 b=2$$

Omskriv 4x^{2}-8x-5 som \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Udfaktoriser 2x i 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Løs 2x-5=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -8 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Adder 64 til 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±12}{8} når ± er plus. Adder 8 til 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{20}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±12}{8} når ± er minus. Subtraher 12 fra 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Divider -8 med 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Adder \frac{5}{4} til 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkling.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$