Løs 4x^2-25=(2x-5)(7x+3)

$$4 x ^ { 2 } - 25 = ( 2 x - 5 ) ( 7 x + 3 )$$

Løs for x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-5 med 7x+3, og kombiner ens led.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Subtraher 14x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Kombiner 4x^{2} og -14x^{2} for at få -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Tilføj 29x på begge sider.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Tilføj 15 på begge sider.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Tilføj -25 og 15 for at få -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -10x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=29 ab=-10\left(-10\right)=100$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Løsningen er det par, der får summen 29.

$$a=25 b=4$$

Omskriv -10x^{2}+29x-10 som \left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right).

$$\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right)$$

Ud-5x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$-5x\left(2x-5\right)+2\left(2x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-5\right)\left(-5x+2\right)$$

Løs 2x-5=0 og -5x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-5 med 7x+3, og kombiner ens led.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Subtraher 14x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Kombiner 4x^{2} og -14x^{2} for at få -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Tilføj 29x på begge sider.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Tilføj 15 på begge sider.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Tilføj -25 og 15 for at få -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -10 med a, 29 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kvadrér 29.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer -4 gange -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+40\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 40 gange -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-400}}{2\left(-10\right)}$$

Adder 841 til -400.

$$x=\frac{-29±\sqrt{441}}{2\left(-10\right)}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-29±21}{2\left(-10\right)}$$

Multiplicer 2 gange -10.

$$x=\frac{-29±21}{-20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-29±21}{-20} når ± er plus. Adder -29 til 21.

$$x=-\frac{8}{-20}$$

Reducer fraktionen \frac{-8}{-20} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-29±21}{-20} når ± er minus. Subtraher 21 fra -29.

$$x=-\frac{50}{-20}$$

Reducer fraktionen \frac{-50}{-20} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x-5 med 7x+3, og kombiner ens led.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Subtraher 14x^{2} fra begge sider.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Kombiner 4x^{2} og -14x^{2} for at få -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Tilføj 29x på begge sider.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Tilføj 25 på begge sider.

$$-10x^{2}+29x=-15+25$$

Tilføj -15 og 25 for at få 10.

$$-10x^{2}+29x=10$$

Divider begge sider med -10.

$$\frac{-10x^{2}+29x}{-10}=\frac{10}{-10}$$

Division med -10 annullerer multiplikationen med -10.

$$x^{2}+\frac{29}{-10}x=\frac{10}{-10}$$

Divider 29 med -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=\frac{10}{-10}$$

Divider 10 med -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=-1$$

Divider -\frac{29}{10}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{29}{20}. Adder derefter kvadratet af -\frac{29}{20} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{29}{20} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=-1+\frac{841}{400}$$

Adder -1 til \frac{841}{400}.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=\frac{441}{400}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}=\frac{441}{400}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{400}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{29}{20}=\frac{21}{20} x-\frac{29}{20}=-\frac{21}{20}$$

Adder \frac{29}{20} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$