Løs 4x^2-2x-18=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x - 18 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 1}{4} \approx 2,386000936$$

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\approx -1,886000936$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -2 med b og -18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -18.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+288}}{2\times 4}$$

Adder 4 til 288.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{292}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 292.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8} når ± er plus. Adder 2 til 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+2}{8}$$

Divider 2+2\sqrt{73} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{73} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{73}}{8}$$

Divider 2-2\sqrt{73} med 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Adder 18 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-2x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Hvis -18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-18\right)$$

Subtraher -18 fra 0.

$$4x^{2}-2x=18$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{18}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{18}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{2}+\frac{1}{16}$$

Føj \frac{9}{2} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{73}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$