Løs 4x^2-2x+1/4=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -2 med b og \frac{1}{4} med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times \frac{1}{4}}}{2\times 4}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times \frac{1}{4}}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times \frac{1}{4}}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4}}{2\times 4}$$

Adder 4 til -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{-2}{2\times 4}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{2}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}=0$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-2x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Hvis \frac{1}{4} subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-2x=-\frac{1}{4}$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{\frac{1}{4}}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{\frac{1}{4}}{4}$$

Divider -\frac{1}{4} med 4.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{16}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{-1+1}{16}$$

Føj -\frac{1}{16} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=0 x-\frac{1}{4}=0$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{1}{4}$$