Løs 4x^2-14x-8=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x - 8 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$2x^{2}-7x-4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -8.

$$1,-8 2,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-8 b=1$$

Omskriv 2x^{2}-7x-4 som \left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser 2x i 2x^{2}-8x.

$$2x\left(x-4\right)+x-4$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Løs x-4=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}-14x-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -14 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+128}}{2\times 4}$$

Adder 196 til 128.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±18}{2\times 4}$$

Det modsatte af -14 er 14.

$$x=\frac{14±18}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{14±18}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±18}{8} når ± er plus. Adder 14 til 18.

$$x=\frac{32}{8}$$

Divider 32 med 8.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{14±18}{8} når ± er minus. Subtraher 18 fra 14.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-4}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}-14x-8=0$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$4x^{2}-14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Hvis -8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}-14x=-\left(-8\right)$$

Subtraher -8 fra 0.

$$4x^{2}-14x=8$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{8}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{8}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{8}{4}$$

Divider 8 med 4.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=2$$

Divider -\frac{7}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Adder 2 til \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Adder \frac{7}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$