Løs 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 6 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Adder 36 til -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -124.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} når ± er plus. Adder -6 til 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Divider -6+2i\sqrt{31} med 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{31} fra -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Divider -6-2i\sqrt{31} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Føj -\frac{5}{2} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$