Løs 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Løs for x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 21 fra begge sider.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtraher 21 fra 1 for at få -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Divider begge sider med 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=-4 b=5$$

Omskriv 2x^{2}+x-10 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Ud2x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Løs x-2=0 og 2x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Hvis 21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtraher 21 fra 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 2 med b og -20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Adder 4 til 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±18}{8} når ± er plus. Adder -2 til 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Divider 16 med 8.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±18}{8} når ± er minus. Subtraher 18 fra -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{-20}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Subtraher 1 fra 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Divider 20 med 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Adder 5 til \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$