Løs 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 12 med b og 19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Adder 144 til -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} når ± er plus. Adder -12 til 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Divider -12+4i\sqrt{10} med 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8} når ± er minus. Subtraher 4i\sqrt{10} fra -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Divider -12-4i\sqrt{10} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Subtraher 19 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Hvis 19 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Divider 12 med 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Føj -\frac{19}{4} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$