Løs 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 39x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Løsningen er det par, der får summen 14.

$$a=-13 b=27$$

Omskriv 39x^{2}+14x-9 som \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Ud13x i den første og 9 i den anden gruppe.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Løs 3x-1=0 og 13x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 39 med a, 14 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Kvadrér 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Multiplicer -4 gange 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Multiplicer -156 gange -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Adder 196 til 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Tag kvadratroden af 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Multiplicer 2 gange 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±40}{78} når ± er plus. Adder -14 til 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Reducer fraktionen \frac{26}{78} til de laveste led ved at udtrække og annullere 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-14±40}{78} når ± er minus. Subtraher 40 fra -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Reducer fraktionen \frac{-54}{78} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Divider begge sider med 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Division med 39 annullerer multiplikationen med 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Reducer fraktionen \frac{9}{39} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Divider \frac{14}{39}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{39}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{39} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{39} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Føj \frac{3}{13} til \frac{49}{1521} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Subtraher \frac{7}{39} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$