Løs 31-x=(x-1)^2

$$31 - x = ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$31-x=x^{2}-2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$31-x-x^{2}=-2x+1$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$31-x-x^{2}+2x=1$$

Kombiner -x og 2x for at få x.

$$31+x-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$31+x-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 31 for at få 30.

$$30+x-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+x+30=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx+30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=1 ab=-30=-30$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er det par, der får summen 1.

$$a=6 b=-5$$

Omskriv -x^{2}+x+30 som \left(-x^{2}+6x\right)+\left(-5x+30\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Ud-x i den første og -5 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(-x-5\right)$$

Løs x-6=0 og -x-5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$31-x=x^{2}-2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$31-x-x^{2}=-2x+1$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$31-x-x^{2}+2x=1$$

Kombiner -x og 2x for at få x.

$$31+x-x^{2}=1$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$31+x-x^{2}-1=0$$

Subtraher 1 fra 31 for at få 30.

$$30+x-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+x+30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 1 med b og 30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 30.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-1±11}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±11}{-2} når ± er plus. Adder -1 til 11.

$$x=\frac{10}{-2}$$

Divider 10 med -2.

$$x=-5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±11}{-2} når ± er minus. Subtraher 11 fra -1.

$$x=-\frac{12}{-2}$$

Divider -12 med -2.

$$x=6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-5 x=6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-1\right)^{2}.

$$31-x=x^{2}-2x+1$$

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$31-x-x^{2}=-2x+1$$

Tilføj 2x på begge sider.

$$31-x-x^{2}+2x=1$$

Kombiner -x og 2x for at få x.

$$31+x-x^{2}=1$$

Subtraher 31 fra begge sider.

$$x-x^{2}=1-31$$

Subtraher 31 fra 1 for at få -30.

$$x-x^{2}=-30$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+x=-30$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Divider 1 med -1.

$$x^{2}-x=-\frac{30}{-1}$$

Divider -30 med -1.

$$x^{2}-x=30$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Adder 30 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=-5$$