Løs 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -40 med b og 96 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Kvadrér -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Adder 1600 til -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -40 er 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} når ± er plus. Adder 40 til 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Divider 40+8\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{7} fra 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Divider 40-8\sqrt{7} med 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Subtraher 96 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Hvis 96 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Divider -96 med 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Divider -\frac{40}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{20}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{20}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{20}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Adder -32 til \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Adder \frac{20}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$