Løs 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -2.

$$a=-8 b=6$$

Omskriv 3x^{2}-2x-16 som \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Udx i den første og 2 i den anden gruppe.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Løs 3x-8=0 og x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -2 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Adder 4 til 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±14}{6} når ± er plus. Adder 2 til 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±14}{6} når ± er minus. Subtraher 14 fra 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Divider -12 med 6.

$$x=-2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Adder 16 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Hvis -16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtraher -16 fra 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Divider -\frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Føj \frac{16}{3} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adder \frac{1}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$