Løs 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 3 med a, -11 med b, og -4 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{11±13}{6} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-4 og x+\frac{1}{3} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-4 er positiv og x+\frac{1}{3} er negativ.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x+\frac{1}{3} er positiv og x-4 er negativ.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$