Løs 3x^2+9x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-0,866025404i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-108}}{2\times 3}$$

Adder 81 til -108.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -27.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} når ± er plus. Adder -9 til 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{3}i}{6}$$

Divider -9+3i\sqrt{3} med 6.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{3} fra -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-9}{6}$$

Divider -9-3i\sqrt{3} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x=-9$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{3}$$

Divider -9 med 3.

$$x^{2}+3x=-3$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Adder -3 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$