Løs 3x^2+9x+2=5

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 2 = 5$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}\approx 0,302775638$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}\approx -3,302775638$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+9x+2=5$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+2-5=5-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x+2-5=0$$

Subtraher 5 fra 2.

$$3x^{2}+9x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 3}$$

Adder 81 til 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 117.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{6} når ± er plus. Adder -9 til 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{6}$$

Divider -9+3\sqrt{13} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{6} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{13} fra -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{6}$$

Divider -9-3\sqrt{13} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+9x+2=5$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+2-2=5-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x=5-2$$

Subtraher 2 fra 5.

$$3x^{2}+9x=3$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{3}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{3}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}+3x=\frac{3}{3}$$

Divider 3 med 3.

$$x^{2}+3x=1$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}$$

Adder 1 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$$