Løs 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Løs for x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er det par, der får summen 23.

$$a=-1 b=24$$

Omskriv 3x^{2}+23x-8 som \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

Udx i den første og 8 i den anden gruppe.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Løs 3x-1=0 og x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 23 med b og -8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Adder 529 til 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-23±25}{6} når ± er plus. Adder -23 til 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-23±25}{6} når ± er minus. Subtraher 25 fra -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Divider -48 med 6.

$$x=-8$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Adder 8 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Hvis -8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Subtraher -8 fra 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Divider \frac{23}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{23}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{23}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{23}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Føj \frac{8}{3} til \frac{529}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Subtraher \frac{23}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$