Løs 3x^2-6x+36=0

$$3 { x }^{ 2 } -6x+36=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=1+\sqrt{11}i\approx 1+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i+1\approx 1-3,31662479i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-6x+36=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -6 med b og 36 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3\times 36}}{2\times 3}$$

Kvadrér -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3\times 36}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12\times 36}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 36.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-432}}{2\times 3}$$

Adder 36 til -432.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-396}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -396.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Det modsatte af -6 er 6.

$$x=\frac{6±6\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{6±6\sqrt{11}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±6\sqrt{11}i}{6} når ± er plus. Adder 6 til 6i\sqrt{11}.

$$x=\frac{6+6\sqrt{11}i}{6}$$

Divider 6+6i\sqrt{11} med 6.

$$x=1+\sqrt{11}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{6±6\sqrt{11}i}{6} når ± er minus. Subtraher 6i\sqrt{11} fra 6.

$$x=\frac{-6\sqrt{11}i+6}{6}$$

Divider 6-6i\sqrt{11} med 6.

$$x=-\sqrt{11}i+1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-6x+36=0$$

Subtraher 36 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-6x+36-36=-36$$

Hvis 36 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-6x=-36$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{36}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{36}{3}$$

Divider -6 med 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{36}{3}$$

Divider -36 med 3.

$$x^{2}-2x=-12$$

Divider -2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -1. Adder derefter kvadratet af -1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-12+1$$

Adder -12 til 1.

$$x^{2}-2x+1=-11$$

Faktor x^{2}-2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=-11$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Forenkling.

$$x-1=\sqrt{11}i x-1=-\sqrt{11}i$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$x=1+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+1$$