Løs 3x^2+20x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } +20x-60 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{70} - 10}{3} \approx 2,244400177$$

$$x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}\approx -8,911066844$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+20x-60=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 20 med b og -60 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -60.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+720}}{2\times 3}$$

Adder 400 til 720.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1120}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1120.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6} når ± er plus. Adder -20 til 4\sqrt{70}.

$$x=\frac{4\sqrt{70}-20}{6}$$

Divider -20+4\sqrt{70} med 6.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±4\sqrt{70}}{6} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{70} fra -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{70}-20}{6}$$

Divider -20-4\sqrt{70} med 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3} x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+20x-60=0$$

Adder 60 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+20x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Hvis -60 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+20x=-\left(-60\right)$$

Subtraher -60 fra 0.

$$3x^{2}+20x=60$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+20x}{3}=\frac{60}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=\frac{60}{3}$$

Divider 60 med 3.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=20$$

Divider \frac{20}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{10}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{10}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=20+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{10}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=20+\frac{100}{9}$$

Adder 20 til \frac{100}{9}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{280}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{280}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{280}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{10}{3}=\frac{2\sqrt{70}}{3} x+\frac{10}{3}=-\frac{2\sqrt{70}}{3}$$

Subtraher \frac{10}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{70}-10}{3} x=\frac{-2\sqrt{70}-10}{3}$$