Løs 3left(n+5right)^2+7=-17

$$3 { \left(n+5 \right) }^{ 2 } +7 = -17$$

Løs for n

$$n=-2\sqrt{2}i-5\approx -5-2,828427125i$$

$$n=-5+2\sqrt{2}i\approx -5+2,828427125i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(n+5\right)^{2}.

$$3\left(n^{2}+10n+25\right)+7=-17$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med n^{2}+10n+25.

$$3n^{2}+30n+75+7=-17$$

Tilføj 75 og 7 for at få 82.

$$3n^{2}+30n+82=-17$$

Tilføj 17 på begge sider.

$$3n^{2}+30n+82+17=0$$

Tilføj 82 og 17 for at få 99.

$$3n^{2}+30n+99=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 30 med b og 99 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 3\times 99}}{2\times 3}$$

Kvadrér 30.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 3\times 99}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-12\times 99}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 99.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-1188}}{2\times 3}$$

Adder 900 til -1188.

$$n=\frac{-30±\sqrt{-288}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -288.

$$n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{6} når ± er plus. Adder -30 til 12i\sqrt{2}.

$$n=\frac{-30+12\sqrt{2}i}{6}$$

Divider -30+12i\sqrt{2} med 6.

$$n=-5+2\sqrt{2}i$$

Nu skal du løse ligningen, n=\frac{-30±12\sqrt{2}i}{6} når ± er minus. Subtraher 12i\sqrt{2} fra -30.

$$n=\frac{-12\sqrt{2}i-30}{6}$$

Divider -30-12i\sqrt{2} med 6.

$$n=-2\sqrt{2}i-5$$

Ligningen er nu løst.

$$n=-5+2\sqrt{2}i n=-2\sqrt{2}i-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(n+5\right)^{2}.

$$3\left(n^{2}+10n+25\right)+7=-17$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3 med n^{2}+10n+25.

$$3n^{2}+30n+75+7=-17$$

Tilføj 75 og 7 for at få 82.

$$3n^{2}+30n+82=-17$$

Subtraher 82 fra begge sider.

$$3n^{2}+30n=-17-82$$

Subtraher 82 fra -17 for at få -99.

$$3n^{2}+30n=-99$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3n^{2}+30n}{3}=-\frac{99}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$n^{2}+\frac{30}{3}n=-\frac{99}{3}$$

Divider 30 med 3.

$$n^{2}+10n=-\frac{99}{3}$$

Divider -99 med 3.

$$n^{2}+10n=-33$$

Divider 10, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 5. Adder derefter kvadratet af 5 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}+10n+5^{2}=-33+5^{2}$$

Kvadrér 5.

$$n^{2}+10n+25=-33+25$$

Adder -33 til 25.

$$n^{2}+10n+25=-8$$

Faktor n^{2}+10n+25. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(n+5\right)^{2}=-8$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(n+5\right)^{2}}=\sqrt{-8}$$

Forenkling.

$$n+5=2\sqrt{2}i n+5=-2\sqrt{2}i$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$n=-5+2\sqrt{2}i n=-2\sqrt{2}i-5$$