Løs 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 12 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 144 til 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 192.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} når ± er plus. Adder -12 til 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Divider -12+8\sqrt{3} med -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{3} fra -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Divider -12-8\sqrt{3} med -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Divider 12 med -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Divider -3 med -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Divider -3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Føj \frac{3}{4} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Adder \frac{3}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$