Løs 28x^2-8x-48=0

$$28 x ^ { 2 } - 8 x - 48 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 1}{7} \approx 1,459934922$$

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}\approx -1,174220637$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 28 med a, -8 med b og -48 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 28\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Multiplicer -4 gange 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-112\left(-48\right)}}{2\times 28}$$

Multiplicer -112 gange -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+5376}}{2\times 28}$$

Adder 64 til 5376.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{5440}}{2\times 28}$$

Tag kvadratroden af 5440.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{2\times 28}$$

Multiplicer 2 gange 28.

$$x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56} når ± er plus. Adder 8 til 8\sqrt{85}.

$$x=\frac{8\sqrt{85}+8}{56}$$

Divider 8+8\sqrt{85} med 56.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±8\sqrt{85}}{56} når ± er minus. Subtraher 8\sqrt{85} fra 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{85}}{56}$$

Divider 8-8\sqrt{85} med 56.

$$x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$28x^{2}-8x-48=0$$

Adder 48 på begge sider af ligningen.

$$28x^{2}-8x-48-\left(-48\right)=-\left(-48\right)$$

Hvis -48 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$28x^{2}-8x=-\left(-48\right)$$

Subtraher -48 fra 0.

$$28x^{2}-8x=48$$

Divider begge sider med 28.

$$\frac{28x^{2}-8x}{28}=\frac{48}{28}$$

Division med 28 annullerer multiplikationen med 28.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{28}\right)x=\frac{48}{28}$$

Reducer fraktionen \frac{-8}{28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{48}{28}$$

Reducer fraktionen \frac{48}{28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{12}{7}$$

Divider -\frac{2}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{7}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{12}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{12}{7}+\frac{1}{49}$$

Føj \frac{12}{7} til \frac{1}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{85}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{85}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{49}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{85}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{85}}{7}$$

Adder \frac{1}{7} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{85}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{85}}{7}$$