Løs 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Kombiner 25x^{2} og -x^{2} for at få 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 24x^{2}+ax+bx-25. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -10.

$$a=-30 b=20$$

Omskriv 24x^{2}-10x-25 som \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Ud6x i den første og 5 i den anden gruppe.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Løs 4x-5=0 og 6x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Kombiner 25x^{2} og -x^{2} for at få 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 24 med a, -10 med b og -25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multiplicer -4 gange 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multiplicer -96 gange -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Adder 100 til 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Tag kvadratroden af 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Multiplicer 2 gange 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±50}{48} når ± er plus. Adder 10 til 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{60}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±50}{48} når ± er minus. Subtraher 50 fra 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{-40}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kombiner 25x^{2} og -x^{2} for at få 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Tilføj 25 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$24x^{2}-10x=25$$

Divider begge sider med 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Division med 24 annullerer multiplikationen med 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Divider -\frac{5}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{24}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Føj \frac{25}{24} til \frac{25}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Adder \frac{5}{24} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$