Løs 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 24x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Løsningen er det par, der får summen -65.

$$a=-56 b=-9$$

Omskriv 24x^{2}-65x+21 som \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Ud8x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-7 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Løs 3x-7=0 og 8x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 24 med a, -65 med b og 21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kvadrér -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplicer -4 gange 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplicer -96 gange 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Adder 4225 til -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Tag kvadratroden af 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Det modsatte af -65 er 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Multiplicer 2 gange 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{65±47}{48} når ± er plus. Adder 65 til 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{112}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{65±47}{48} når ± er minus. Subtraher 47 fra 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Reducer fraktionen \frac{18}{48} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Subtraher 21 fra begge sider af ligningen.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Hvis 21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Divider begge sider med 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Division med 24 annullerer multiplikationen med 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-21}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Divider -\frac{65}{24}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{65}{48}. Adder derefter kvadratet af -\frac{65}{48} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{65}{48} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Føj -\frac{7}{8} til \frac{4225}{2304} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Adder \frac{65}{48} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$