Løs 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 23 med a, 11 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Kvadrér 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Multiplicer -4 gange 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Multiplicer -92 gange 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Adder 121 til -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Tag kvadratroden af -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Multiplicer 2 gange 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} når ± er plus. Adder -11 til i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{707} fra -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Subtraher 9 fra begge sider af ligningen.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Hvis 9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Divider begge sider med 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Division med 23 annullerer multiplikationen med 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Divider \frac{11}{23}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{46}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{46} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{46} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Føj -\frac{9}{23} til \frac{121}{2116} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Subtraher \frac{11}{46} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$