Løs 22x^2+24x-9=0

$$22 x ^ { 2 } + 24 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}\approx 0,295147364$$

$$x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}\approx -1,386056455$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$22x^{2}+24x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 22 med a, 24 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 22\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

Kvadrér 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 22\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

Multiplicer -4 gange 22.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-88\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

Multiplicer -88 gange -9.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+792}}{2\times 22}$$

Adder 576 til 792.

$$x=\frac{-24±\sqrt{1368}}{2\times 22}$$

Tag kvadratroden af 1368.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{2\times 22}$$

Multiplicer 2 gange 22.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44} når ± er plus. Adder -24 til 6\sqrt{38}.

$$x=\frac{6\sqrt{38}-24}{44}$$

Divider -24+6\sqrt{38} med 44.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{38} fra -24.

$$x=\frac{-6\sqrt{38}-24}{44}$$

Divider -24-6\sqrt{38} med 44.

$$x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11} x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$22x^{2}+24x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$22x^{2}+24x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$22x^{2}+24x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$22x^{2}+24x=9$$

Divider begge sider med 22.

$$\frac{22x^{2}+24x}{22}=\frac{9}{22}$$

Division med 22 annullerer multiplikationen med 22.

$$x^{2}+\frac{24}{22}x=\frac{9}{22}$$

Reducer fraktionen \frac{24}{22} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x=\frac{9}{22}$$

Divider \frac{12}{11}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{6}{11}. Adder derefter kvadratet af \frac{6}{11} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\left(\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{9}{22}+\left(\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{6}{11} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{9}{22}+\frac{36}{121}$$

Føj \frac{9}{22} til \frac{36}{121} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{171}{242}$$

Faktor x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{171}{242}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{171}{242}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{6}{11}=\frac{3\sqrt{38}}{22} x+\frac{6}{11}=-\frac{3\sqrt{38}}{22}$$

Subtraher \frac{6}{11} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11} x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$