Løs 2y^2-y+2=0

$$2 y ^ { 2 } - y + 2 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}\approx 0,25+0,968245837i$$

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}\approx 0,25-0,968245837i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -1 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 2.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16}}{2\times 2}$$

Adder 1 til -16.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -15.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} når ± er plus. Adder 1 til i\sqrt{15}.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{1±\sqrt{15}i}{4} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{15} fra 1.

$$y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2y^{2}-y+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$2y^{2}-y+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2y^{2}-y=-2$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2y^{2}-y}{2}=-\frac{2}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{2}$$

Divider -2 med 2.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y=-1$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Adder -1 til \frac{1}{16}.

$$y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Faktor y^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} y-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{1+\sqrt{15}i}{4} y=\frac{-\sqrt{15}i+1}{4}$$