Løs 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 2 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Adder 4 til 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} når ± er plus. Adder -2 til 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Divider -2+2\sqrt{3} med 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{3} fra -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Divider -2-2\sqrt{3} med 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Divider 2 med 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor y^{2}+y+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$