Løs 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -11 med b og 16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Kvadrér -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Adder 121 til -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} når ± er plus. Adder 11 til i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{7} fra 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Subtraher 16 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Hvis 16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Divider -16 med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Divider -\frac{11}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Adder -8 til \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Adder \frac{11}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$