Løs 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 1 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Adder 1 til -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} når ± er plus. Adder -1 til i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{23} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+x=-3$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Føj -\frac{3}{2} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$