Løs 19x^2-15x+45=0

$$19 x ^ { 2 } - 15 x + 45 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}\approx 0,394736842+1,487482396i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}\approx 0,394736842-1,487482396i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 19 med a, -15 med b og 45 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Multiplicer -4 gange 19.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-76\times 45}}{2\times 19}$$

Multiplicer -76 gange 45.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-3420}}{2\times 19}$$

Adder 225 til -3420.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-3195}}{2\times 19}$$

Tag kvadratroden af -3195.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Multiplicer 2 gange 19.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} når ± er plus. Adder 15 til 3i\sqrt{355}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{355} fra 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Subtraher 45 fra begge sider af ligningen.

$$19x^{2}-15x+45-45=-45$$

Hvis 45 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$19x^{2}-15x=-45$$

Divider begge sider med 19.

$$\frac{19x^{2}-15x}{19}=-\frac{45}{19}$$

Division med 19 annullerer multiplikationen med 19.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x=-\frac{45}{19}$$

Divider -\frac{15}{19}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{38}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{38} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{45}{19}+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{38} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{45}{19}+\frac{225}{1444}$$

Føj -\frac{45}{19} til \frac{225}{1444} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{3195}{1444}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{3195}{1444}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3195}{1444}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{38}=\frac{3\sqrt{355}i}{38} x-\frac{15}{38}=-\frac{3\sqrt{355}i}{38}$$

Adder \frac{15}{38} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$