Løs 18p+(9-p/2)^2=100

$$18 p + ( 9 - \frac { p } { 2 } ) ^ { 2 } = 100$$

Løs for p

$$p=-38$$

$$p=2$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(9-\frac{p}{2}\right)^{2}.

$$18p+81+18\left(-\frac{p}{2}\right)+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 18 og 2.

$$18p+81-9p+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Beregn -\frac{p}{2} til potensen af 2, og få \left(\frac{p}{2}\right)^{2}.

$$18p+81-9p+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Kombiner 18p og -9p for at få 9p.

$$9p+81+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

For at hæve \frac{p}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$9p+81+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer 9p+81 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

Da \frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{p^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2}}{2^{2}}=100$$

Lav multiplikationerne i \left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2}.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{2^{2}}=100$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{4}=100$$

Divider hvert led på 36p+324+p^{2} med 4 for at få 9p+81+\frac{1}{4}p^{2}.

$$9p+81+\frac{1}{4}p^{2}=100$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$9p+81+\frac{1}{4}p^{2}-100=0$$

Subtraher 100 fra 81 for at få -19.

$$9p-19+\frac{1}{4}p^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$\frac{1}{4}p^{2}+9p-19=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat \frac{1}{4} med a, 9 med b og -19 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times \frac{1}{4}\left(-19\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Kvadrér 9.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times \frac{1}{4}\left(-19\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicer -4 gange \frac{1}{4}.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-\left(-19\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicer -1 gange -19.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81+19}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Adder 81 til 19.

$$p=\frac{-9±\sqrt{100}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$p=\frac{-9±10}{2\times \frac{1}{4}}$$

Multiplicer 2 gange \frac{1}{4}.

$$p=\frac{-9±10}{\frac{1}{2}}$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-9±10}{\frac{1}{2}} når ± er plus. Adder -9 til 10.

$$p=\frac{1}{\frac{1}{2}}$$

Divider 1 med \frac{1}{2} ved at multiplicere 1 med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$p=2$$

Nu skal du løse ligningen, p=\frac{-9±10}{\frac{1}{2}} når ± er minus. Subtraher 10 fra -9.

$$p=-\frac{19}{\frac{1}{2}}$$

Divider -19 med \frac{1}{2} ved at multiplicere -19 med den reciprokke værdi af \frac{1}{2}.

$$p=-38$$

Ligningen er nu løst.

$$p=2 p=-38$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(9-\frac{p}{2}\right)^{2}.

$$18p+81+18\left(-\frac{p}{2}\right)+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Ophæv den største fælles faktor 2 i 18 og 2.

$$18p+81-9p+\left(-\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Beregn -\frac{p}{2} til potensen af 2, og få \left(\frac{p}{2}\right)^{2}.

$$18p+81-9p+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

Kombiner 18p og -9p for at få 9p.

$$9p+81+\left(\frac{p}{2}\right)^{2}=100$$

For at hæve \frac{p}{2} i en potens skal både tælleren og nævneren hæves i potensen og så divideres.

$$9p+81+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

For tilføje eller fratrække udtryk skal du udvide dem for at gøre nævneren ens. Multiplicer 9p+81 gange \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}}+\frac{p^{2}}{2^{2}}=100$$

Da \frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}}{2^{2}} og \frac{p^{2}}{2^{2}} har den samme fællesnævner, skal du addere dem ved at tilføje deres tællere.

$$\frac{\left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2}}{2^{2}}=100$$

Lav multiplikationerne i \left(9p+81\right)\times 2^{2}+p^{2}.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{2^{2}}=100$$

Beregn 2 til potensen af 2, og få 4.

$$\frac{36p+324+p^{2}}{4}=100$$

Divider hvert led på 36p+324+p^{2} med 4 for at få 9p+81+\frac{1}{4}p^{2}.

$$9p+81+\frac{1}{4}p^{2}=100$$

Subtraher 81 fra begge sider.

$$9p+\frac{1}{4}p^{2}=100-81$$

Subtraher 81 fra 100 for at få 19.

$$9p+\frac{1}{4}p^{2}=19$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$\frac{1}{4}p^{2}+9p=19$$

Multiplicer begge sider med 4.

$$\frac{\frac{1}{4}p^{2}+9p}{\frac{1}{4}}=\frac{19}{\frac{1}{4}}$$

Division med \frac{1}{4} annullerer multiplikationen med \frac{1}{4}.

$$p^{2}+\frac{9}{\frac{1}{4}}p=\frac{19}{\frac{1}{4}}$$

Divider 9 med \frac{1}{4} ved at multiplicere 9 med den reciprokke værdi af \frac{1}{4}.

$$p^{2}+36p=\frac{19}{\frac{1}{4}}$$

Divider 19 med \frac{1}{4} ved at multiplicere 19 med den reciprokke værdi af \frac{1}{4}.

$$p^{2}+36p=76$$

Divider 36, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 18. Adder derefter kvadratet af 18 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$p^{2}+36p+18^{2}=76+18^{2}$$

Kvadrér 18.

$$p^{2}+36p+324=76+324$$

Adder 76 til 324.

$$p^{2}+36p+324=400$$

Faktor p^{2}+36p+324. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(p+18\right)^{2}=400$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(p+18\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Forenkling.

$$p+18=20 p+18=-20$$

Subtraher 18 fra begge sider af ligningen.

$$p=2 p=-38$$